Kostić je rođen 1939. godine u Rvašima kod Cetinja. Završio je Ekonomski fakultet u Beogradu. Član Saveza komunista Jugoslavije postao je 1957. godine.
Bio je organizacioni sekretar Fakultetskog komiteta i sekretar Univerzitetskog komiteta SKJ u Beogradu, član Centralnog komiteta SK Crne Gore od Četvrtog kongresa, član pa predsjednik CK Saveza omladine Crne Gore od 1963, član i predsjednik CK Saveza omladine Jugoslavije, član Izvršnog odbora SSRN Crne Gore, predsjednik Sekcije za društvene organizacije Republičke konferencije Crne Gore.
Bio je predsjednik Predsjedništva Socijalističke Republike Crne Gore od 17. marta 1989. do 23. decembra 1990. i vršilac dužnosti predsjednika Predsjedništva SFRJ od 6. decembra 1991. do 15. juna 1992. godine, kada je funkcija ukinuta.
Bio je i 14. generalni sekretar Pokreta nesvrstanih od 6. decembra 1991. do 15. juna 1992. godine. Od 16. maja 1991. godine bio je član Predsjedništva SFRJ.
Kostić je u drugom krugu predsjedničkih izbora u Crnoj Gori 1993. godine izgubio od Momira Bulatovića.
