Brkić je rođen 24. jula 1974. godine u Sarajevu. Košarkom se počeo baviti u KK Bosna kada je imao 10 godina. Bio je na pragu prve ekipe početkom rata 1992. godine kao sedamnaestogodišnjak, ali je napustio BiH i otišao u Srbiju, gdje je ubrzo potpisao za Partizan. Trenirao je s mladim timom, a potom je posuđen Borcu iz Čačka, gdje je započeo profesionalnu karijeru. Godinu dana kasnije se vratio u Partizan i odigrao šest sezona. Osvojio je tri šampionske titule i tri kupa. Bio je jedan od najboljih igrača Partizana u final fouru Eurolige u sezoni 1997/1998.
Tokom sezone 1999/2000. je igrao za KK Budućnost iz Podgorice, gdje je osvojio titulu prvaka Jugoslavije. Sezonu 2000/2001. je počeo u Budućnosti, ali se vratio u Partizan.
Brkić je za Partizan odigrao 290 utakmica i deseti je na vječnoj listi. Sa 3.709 poena nalazi se na osmom mjestu liste strijelaca, a s 951 poenom je na petom mjestu najefikasnijih igrača Partizana u evropskim kupovima.
Želja za povratkom u KK Bosna
Imao je želju da se vrati u Bosnu, gdje se počeo baviti košarkom.
"Ovo je moj grad, dvorana u kojoj sam trenirao, ovdje sam počeo, ali opet mi je neugodno, jer sam ovdje za neke četnik, a u Beogradu sam Turčin", kazao je Brkić u Sarajevu 1999. godine.
Jednom sarajevskom prijatelju, bivšem saigraču, otprilike mjesec dana prije ubistva, povjerio se: "Rado bih se vratio kući, imam nekih problema. Kako ide Bosni, ima li ekipu, da li bi me ponovo primili?", raspitovao se Haris.
Brkić je bio jedan od najboljih jugoslavenskih košarkaša
Brkić se smatra jednim od najtalentovanijih košarkaša koji su se na našim prostorima pojavili u posljednjih 30 godina. Poznat je po svom dvokoraku koji je nazvan "Harisov ulaz". Radi se o produženom koraku koji se teško branio. O tom dvokoraku su sudije imale podijeljeno mišljenje, ali je konačno zaključeno da se ne radi o grešci u koracima. Brkić bi kretao s loptom na koš, a onda bi jednom nogom dva puta "naskakao", čime bi zbunjivao protivničke igrače. Uglavnom bi asistirao ili poentirao, griješio je vrlo rijetko.
Reprezentacija Jugoslavije
Brkić je bio mladi reprezentativac Jugoslavije, koja je 1996. osvojila bronzanu medalju na Evropskom prvenstvu za U20 reprezentaciju u Turskoj. Bio je na pripremama i igrao prijateljske utakmice za seniore, ali se nikada nije pojavio na velikom takmičenju.
Misteriozno ubistvo
Dvanaestog decembra 2000. godine nepoznati napadač je pucao tri puta Brkiću u glavu na parkingu ispred dvorane Pionir u Beogradu. Košarkaš je od zadobijenih povreda preminuo tri dana kasnije. Još uvijek nije poznato ko ga je ubio.
"Zašto? Želim samo da pitam čovjeka koji je oduzeo život mom sinu, zašto je to uradio? Više me ne zanima ni da li će biti kažnjen, samo hoću da znam zašto je pucao u mog Harisa. Njega više nema i ništa ne može da mi ga vrati, ali suprug i ja ne gubimo nadu da će ubica biti uhvaćen", izjavila je Harisova majka Radmila, piše Alo.rs.
Memorijalni turnir u Brkićevu čast
Svakog ljeta njegovi bivši klubovi Bosna, Parizan i Budućnost organizuju Memorijalni turnir "Haris Brkić" u njegovu čast. Navijači Partizana ga se često sjete tokom utakmica.
